Georg Cantor (1845-1918), kuuluisa saksalainen matemaatikko, tunnetaan erityisesti joukko-oppia ja ääretöntä koskevista tutkimuksistaan. Cantor antoi äärettömän käsittelle täsmällisen, matemaattisen merkityksen, mikä on suuresti vaikuttanut nykyaikaisen matematiikan kehitykseen.

Cantor sai nauttia tiedeyhteisön arvostusta vasta uransa loppuvaiheessa. Hänen elämäntarinaansa leimaa traagisella tavalla älyllisen loiston ja syvän taantumuksen ajanjaksot. Cantorin kohdalla tämä vastakohtaisuus johtui kaksisuuntaisesta mielialahäiriöstä, jota ei tuona aikana osattu varsinaisesti hoitaa. Masennusjaksot pahenivat iän karttuessa, ja Cantor joutui viettämään pitkiä aikoja parantolassa.

Cantor toi matematiikan kartalle tärkeitä osa-alueita, kuten aksiomaattisen joukko-opin, äärettömyyden asteet ja niinsanotun kontinuumihypoteesin.
Cantor oli erityisen uskonnollinen ja koki, että Jumala viestitti hänelle äärettömyyttä koskevat perusajatukset.

Henkilöhistoria

Georg Cantor. Kuva: Wikimedia Commons.

Cantor syntyi Pietarissa, mutta perhe muutti myöhemmin Frankfurtiin. Perhetaustaan kuuluivat luterilaisuus ja musikaalisuus. Suvussa oli tunnettuja muusikoita. Isä korosti pojalleen, että mitä tämä sitten isona tekeekin, ei tule tyytyä keskinkertaisuuteen.  Cantor opiskeli insinööriksi, mutta matemaattinen lahjakkuus ja kiinnostus aiheeseeen saivat Cantorin suuntautumaan matematiikan opintoihin. Hän teki työuransa matematiikan opettajana Hallen yliopistossa.

Funktio-oppiin liittyvät ongelmat johdattivat Cantorin tutkimaan lukuteoriaa, joukko-oppia ja äärettömyyttä. Cantorille vahvistui näkemys siitä, millä tavoin ääretön voidaan ymmärtää matemaattisesti.  Cantor ilmaisi usein, että Jumala kommunikoi hänelle äärettömyyden luonteeseen liittyvät ideat.  Hänen tehtävänään olisi etsiä ja muotoilla näille ideoille pitävä todistus. Tästä syystä Cantor alkoi kehittää niin sanottua aksiomaattista joukko-oppia.

Kiintoisa yksityiskohta tässä yhteydessä on suhtautuminen intuitioon. Monet aikakauden nimekkäät matemaatikot, muun muassa Henri Poincare sekä Leopold Kronecker, jonka opissa Cantor oli ollut, torjuivat äärettömät matemaattiset objektit epäintuitiivisina. Tästä koulukunnasta käytetään nykyisin nimityksiä finitismi tai intuitionismi. Ehkä Cantor koki teoriansa kumpuavan korkeammasta kädestä myös siitä syystä, että se oli ristiriidassa inhimillisen intuition kanssa.

Cantorin radikaalit ajatukset eivät saaneet vastakaikua tiedeyhteisössä. Hän ei päässyt havittelemiinsa parempiin virkoihin. Tutkimusten julkaiseminen oli vaikeaa. Tutkimustyön alkuvaiheessa toinen tunnettu  matemaatikko Richard Dedekind tuki ja opasti Cantoria. Myöhemmässä vaiheessa Dedekind jarrutteli Cantoria julkaisemasta tiettyjä tutkimuksia liian aikaisin, minkä Cantor tulkitsi vihamielisyydeksi entisen tukijansa taholta. Tapahtuma johti miesten välirikkoon.

Cantorin heikko mielenterveys on vaikuttanut hänen jälkimaineeseensa. Retorisesti on ehdotettu kiinnitettäväksi varoitustarroja äärettömyyttä käsitteleviin kirjoihin. Cantorilla oli joitakin omaperäisiä ajatuksia koskien historiaa, kuten se, että sir Francis Bacon olisi todellisuudessa kirjoittanut Shakespearen näytelmät. Elämänsä loppuvaiheilla Cantor ei enää työskennellyt matematiikan parissa. Hän oli varsin huonossa kunnossa ja asui parantolassa. Hän kirjoitti oudon pamfletin ”Ex Oriente Lux”, jossa hän muun muassa esitti että Jeesus olisi ollut Joosef Ariamatilaisen biologinen jälkeläinen.

Cantor oli huippulahjakas, herkkä ja taiteellinen. Hänen rasitteenaan oli paheneva kaksisuuntainen mielialahäiriö. Näistä lähtökohdista on helppo ymmärtää, että hän ei kestänyt sitä painetta, jonka ympäröivä maailma asettaa tieteellisen uudisraivaajan harteille.

Tieteellinen ura

Cantorin oppi äärettömästä osoitti, että äärettömyydellä on eri asteita. Näitä asteita on äärettömästi.

Korkeimman asteen ääretön, äärettömyyksien ääretön tai absoluutti, oli kuitenkin ongelmallinen, sillä teoria toisaalta viittasi siihen, mutta toisaalta ei enää mahdollistanut sen analyysiä. Cantor ratkaisi asian yksinkertaisesti jättämällä absoluutin Jumalan asiaksi, mutta muut matemaatikot ja filosofit esittivät kritiikkiä. Lopputulos oli kuitenkin myönteinen, sillä ongelmat onnistuttiin ratkaisemaan jatkamalla teorian kehittelyä Cantorin luomalta pohjalta.

Kuinka äärettömyyksiä voi sitten olla monia erilaisia? Yksinkertaisin äärettömyys ovat kokonaisluvut. Tätä voidaan ajatella konkreettisesti niin, että kaikki asiat ovat viime kädessä eroteltavissa toisistaan ja siten numeroitavissa 1,2,3…

Toinen, laajempi äärettömyyden aste on jatkumo, kontinuumi. Jos ympäröivä maailma on kontinuumi, erot asioiden välillä ovat viime kädessä vain tulkinnallisia aste-eroja, ja pohjimmiltaan maailma on yhtenäinen, katkematon ’virta’.

Cantor oli vakuuttunut siitä, että kokonaisluvut ja kontinuumi ovat nimenomaan kaksi ensimmäistä äärettömyyden astetta. Tämä on niinsanottu kontinuumihypoteesi. Uransa loppuvaiheessa Cantor työskenteli uupumukseen asti kontinuumihypoteesin parissa, mutta ei onnistunut todistamaan sitä oikeaksi tai vääräksi.

Cantorin äärettömyysteoriasta tuli kuitenkin ajan oloon tärkeä puheenaihe matemaatikkojen piirissä, ja Cantor alkoi saada tunnustusta. Teorian pohjalta alettiin järjestää konferensseja. Se seikka, että äärettömyyksien äärettömyys jäi teorian selitysvoiman ulkopuolelle, ei tyydyttänyt matemaatikkoja: teoria ei siis ollut tältä osin aukoton.

Konferenssissa v. 1904, jossa Cantor oli pääroolissa, arvostettu matemaatikko König ilmoitti löytäneensä virheen Cantorin teoriasta. Asiasta noussut kohu oli niin suuri, että se ylitti uutiskynnyksen tavallisissa päivälehdissä. Cantor, jonka mielenterveys horjui muutenkin, oli aivan poissa tolaltaan. Hän koki Jumalan pettäneen hänet. Koska hän oli  vakuuttunut teoriansa korkeammasta alkuperästä, sen olisi pitänyt olla paitsi oikea, myös ainoa mahdollinen.

Koolla olevat matemaatikot syventyivät ongelmaan, ja jo seuraavana päivänä huomattiin, että Königin käyttämästä  menetelmästä Cantorin virheen osoittamiseksi löytyi virhe!

Tapaus piti osaltaan huolen siitä, että Cantorin teoria on säilynyt puheenaiheena tähän päivään asti. Tosin vuoden 1904 jälkeen tapahtumat eivät ole vyöryneet aivan yhtä dramaattisesti. Vaikka Königin esittämä kritiikki Cantorin teoriaa kohtaan sisälsi virheen, se ei ollut kokonaan perusteetonta. Jo jonkin aikaa matemaatikkoja oli vaivannut se, että joukko-opin aksioomia eli perusoletuksia ei voitu valita aukottomasti. Etenkin filosofi Bertrand Russell nosti ongelman selkeästi esiin.

Teorian myöhemmät vaiheet

Cantorin 140 vuotta sitten luoma oppi äärettömästä, varsinaiselta nimeltään aksiomaattinen joukko-oppi, on keskeinen osa nykyaikaisen matematiikan perustaa. Alkuperäisen teorian pohjalta kehitettiin nykyinen ns. ZFC- eli Zermelo-Fraenkelin aksioomajärjestelmä.

Vuonna 1931 tunnettu teoreetikko Kurt Gödel osoitti ns. epätäydellisyyslauseiden avulla, että matematiikan  aksioomajärjestelmistä ei saa aukottomia, asetettiin perusoletukset miten tahansa. Kontinuumihypoteesin kohdalla eri teoreetikot osoittivat myöhemmin, että sitä ei voi edes periaatteessa todistaa oikeaksi tai vääräksi.

Aivan viime aikoina tutkijat ovat kuitenkin yrittäneet kiertää näitä esteitä. On saatu viitteitä siitä, että kontinuumi voisi ehkä ollakin kolmannen asteen äärettömyys, mutta tätä ei ole voitu pitävästi osoittaa.

Cantor ja kirkon oppi

Cantor oli vakuuttunut, että äärettömyyttä koskevalla täsmällisellä tiedolla voisi olla syvällisiä  teologisia seurauksia. Hän uskoi äärettömyyttä koskevien tutkimuksiensa johtavan uudenlaiseen teologiseen ajatteluun.

Siinä missä tutkijakollegoiden vastustus vähintäänkin pahensi Cantorille masennuskausia, ellei suorastaan aiheuttanut niitä, hän alkoi saada kuitenkin ajatuksilleen yllättävää taustatukea: katolisilta teologeilta ja epäsuorasti myös paavilta.

Vuonna 1878 paaviksi valittu Leo XIII päätti reagoida Länsi-Euroopassa yleistyvään maallistumiseen ja materialismiin. Katolinen kirkko, joka ei yleensä ollut loistanut uudistusmielisyydellään, päätti modernisoida oppinsa filosofiset perusteet. Yksi niinsanotun uusskolastiikan, tai uustomismin (Tuomas Akvinolaisen mukaan) pääperiaatteista on se, että Jumalan olemus ja olemassaolo on täysin erilaista kuin minkään äärellisen asian, kuten luomakunnan olemassaolo. Teologisessa mielessä tämä vapauttaa luonnontieteet tutkimaan luotua maailmaa vapaasti, ja sitä kautta mahdollisesti lisäämään Jumalan toimintaa koskevaa ymmärrystä.

Cantorin työn seurauksena äärettömästä tuli ensisijaisesti matemaattinen, täsmällinen käsite, kun se aiemmin oli ollut lähinnä osa filosofista ja teologista retoriikkaa. Cantor oli huolissaan siitä, että matemaattisen  äärettömyyden pinnallinen tulkinta voisi johtaa panteismiin eli oppiin siitä, että kaikki, myös näkyvä maailma, on erottamaton osa jumaluutta, mikä on vastoin kirkon oppia.

Tähän päädyttäisiin sitä kautta, että näkyvän maailman voisi myös ajatella olevan ääretön, jolloin se olisi ikäänkuin yhteismitallinen Jumalan kanssa. Vasta perustettu, paavin valtuuttama uustomistinen koulukunta järjesti seminaareja, ja teologit pohtivat Cantorin herättämää kysymystä tosissaan. Cantorin vastaus oli, että äärettömyyden yksinkertaiset asteet voivat esiintyä reaalimaailmassa – hän ajatteli, että materia ehkä toteuttaa kokonaislukujen äärettömyyttä ja avaruudelliset ulottuvuudet ovat kontinuumi – mutta absoluutti, äärettömyyden korkein aste, on varattu yksin Jumalalle.

Äärettömyydellä Jumalan puolesta – ja vastaan

Äärettömään liittyvät paradoksit ja tutkimisen vaikeus ilmentävät osaltaan sitä, kuinka äärettömyys karkaa inhimillisen ajattelun tuolle puolen. Vetoamalla todellisuuden äärettömyyteen voidaan perustella hyvin erilaisia väittämiä. Esimerkiksi jos universumi (tai maailmankaikkeuksien kokonaisuus, multiversumi) on ääretön, elämän sattumanvaraisessa synnyssä ja kehityksessä ei ole mitään kummallista, eikä jumalaa tarvita. Toisaalta aivan samoissa olosuhteissa evoluutio olisi jo edennyt äärettömän pitkälle ja tuottanut täysin kilpailukykyisen olion, jolla olisi ihmisen näkökulmasta kaikki jumalan ominaisuudet.

Äärettömyyteen liittyvistä paradokseista johtuen muun muassa tunnettu apologeetikko William Lane Craig asettuu vastustamaan äärettömän todellisuuden mahdollisuutta. Kokemuspiiriimme kuuluvan todellisuuden olettaminen äärelliseksi onkin sovinnaista, koska fysiikan tutkimus kertoo maailmamme pohjautuvan tietyille äärellisille raja-arvoille (kvanttimekaniikka; valon nopeus ym.). Craig  kuitenkin väistää kysymyksen Jumalan äärettömyydestä.

Koska ymmärryksen on vaikea tavoittaa ääretöntä, siitä seuraa, että äärettömyyttä koskeva puhe jää helposti marginaaliin. Kuitenkin esimerkiksi kysymys todellisuuden äärettömyydestä on yksi kaikkein keskeisimpiä kysymyksiä, joka voidaan esittää. Joudumme nöyrästi myöntämään, että meillä ei ole kykyä selvittää asiaa tarkemmin. Immanuel Kant ymmärsi tämän jo sata vuotta ennen Cantoria kirjoittamalla, että ”kysymys luonnon äärettömyydestä on ihmiselle ikuisesti ratkaisematon”. On tärkeä ymmärtää, että esimerkiksi kosmologia ei voi antaa tähän asiaan milloinkaan lopullista vastausta.

Tunnettu matemaatikko David Hilbert antoi Georg Cantorille hienon tunnustuksen tämän työstä ja maailmankatsomuksesta toteamalla, että ”Kukaan ei voi riistää matemaatikoilta sitä paratiisia, jonka portit Cantor heille aukaisi”.

Kirjallisuutta

Dauben, J.W. (1979): Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton University Press.

Michael Heller & W.Hugh Woodin (ed.) (2011). Infinity, new research frontiers. Cambridge University Press.

Immanuel Kant: Prolegomena (1783). Suomentanut Vesa Kuittinen 1997. Gaudeamus.

Kuva 1: Tim Johnson@Flickr.com. CC BY-NC-ND 2.0. Kuva 2: Wikimedia Commons. PD.